Моделирование уравнения гармонического колебания

Введение

   Здесь рассматривается моделирование гармонических колебаний на примере уравнения для напряжения U(f) = sin(ωf) или U(t) = cos(ωf), где ω = 2πf - угловая частота; f - частота колебания. Для моделирования в абсолютных единицах (а.е.) измерения требуется продифференцировать уравнения напряжения два раза и записать в нормальной форме Коши.
   Например, если U(t) = sin(ωt), то U'(t) = ωcos(ωt); U"(t) = -ω²sin(ωt).  (2.1)
   Если U(t)=cos(ωt), то U'(t) =-ωsin(ωt); U"(t)= -ω²cos(ωt). (2.2)
   На основании (2.1) и (2.2) получим ДУ в форме Коши второго порядка U"(t) = -ω²U(t).  (2.3)

Составление структурных блок-схем

   Решение (моделирование) ДУ Коши сводится к разрешению уравнения относительно старшей производной и нахождению искомой функции, применяя метод понижения порядка старшей производной.
   Для моделирования гармонических колебаний U(t) в а.е. измерения надо проинтегрировать два раза ДУ (2.3), т.е. требуется использовать два решающих блока интегратора, которые последовательно снизят порядок производной. На рис. 2.1а и 2.1б приведены структурные блок-схемы соответственно для (2.1) и (2.2), где дополнительно показан решающий блок усиления, используемый с целью получения U(t) = cos(ωt) и U(t) = sin(ωt).
   Моделирование переходного процесса требует задания времени наблюдения и шага интегрирования. Если время наблюдения задано равным t = nТ, с, где T = 1/f - период колебания, то это будет соответствовать п периодов U(t) на отрезке времени t с частотой f. Часто переходный процесс удобнее моделировать в относительных единицах (о.е.) измерения. Для этого можно использовать решающие блоки, встроенные в программный комплекс. В этом случае блок-схемы, моделирующие гармонические колебания, имеют вид рис. 2.2а и 2.2б, где используются решающие блоки времени, усиления, синуса и косинуса. При этом время счета процесса может увеличиться.

Расчет коэффициентов решающих блоков

   Для заданной частоты сети f, Гц определяются: как в а.е. ω = 2nf, 1/с; Т = 1/f, с; ω2, 1/с2 и 1/ω, с для рис. 2.1; так и в о.е. ω* = 2π/Т* = ω/ωб для рис. 2.2., где при f = 50 Гц период Т* = 2π, рад.
Начальные условия (НУ), т.е. начальные значения исследуемых функций при t = 0, в частности для напряжений (2.1) (см. рис. 2.1а), равны: U(0) = 0 и U'(0) = ω, где U(0) и U'(0) являются НУ для функций на выходе соответствующего интегратора. Значение НУ определяет коэффициент входного параметра Р1 соответственно для каждого интегратора. Аналогично для (2.2) (см. рис. 2.26) НУ равны: U(0) = 1 и U'(0) = 0.

Меню

Введение

Далее