Лабораторная работа № 2
Расчет магнитной цепи электрической машины методом узловых потенциалов

Методические указания к пункту 2:

Для расчета цепей (магнитных, электрических или тепловых) на ЭВМ необходимо прежде всего ввести информацию о цепи в компьютер в виде, удобном для последующего автоматического преобразования. Информацию о цепи можно разделить на два типа: информацию о топологии цепи (т. е. о соединениях ветвей) и о характеристиках составляющих ее элементов.

Для записи в цифровом виде наиболее удобно представление информации о топологии цепи в виде матриц. Вся необходимая информация может быть представлена матрицей инциденций A_a. Число строк этой матрицы равно числу узлов цепи, а число столбцов - числу ветвей. Каждый элемент матрицы a_ij может принимать одно из трех возможных значений: 0, +1 и -1. Элемент a_ij=+1, если ветвь j принадлежит узлу i и направлена от него; a_ij=-1, если ветвь j принадлежит узлу i и направлена к нему; a_ij=0, если ветвь j не принадлежит узлу i.

Первый закон Кирхгофа может быть записан с помощью матрицы инциденций A_a следующим образом:

A_a×i=0,                                                                                                 (1)

где i - вектор-столбец токов (потоков) ветвей.

Матрица инциденций A_a содержит полную информацию о числе ветвей и узлов цепи и о соединениях ветвей. Однако эта информация избыточна, поскольку система уравнений, представленная в виде (1), не является линейно независимой. Любое уравнение в (1) содержится в остальных уравнениях. Поэтому для анализа цепей используют редуцированную матрицы инциденций A. Редуцированную матрицу инциденций A получают из матрицы инциденций A_a путем исключения одной строки (произвольной). Саму матрицу инциденций A_a называют в таком случае полной матрицей инциденций.

Для линейной цепи характеристики элементов могут быть представлены с помощью диагональной матрицы проводимостей ветвей Y_В. Это квадратная матрица, размер которой равен числу ветвей цепи. В матрице Y_В только элементы главной диагонали отличны от нуля. Элемент y_ii равен проводимости i-той ветви (электрической или магнитной). Если же цепь содержит нелинейные элементы, то для каждого такого элемента используют характеристику g: i=g(v). Заметим, что линейный элемент может быть представлен как частный случай нелинейного с прямолинейной характеристикой i=g(v).

Одним из наиболее удобных для формализации методов расчета цепей является метод узловых потенциалов. Согласно этому методу один из узлов схемы выбирают в качестве базового (обычно ему дают порядковый номер 0) и рассчитывают напряжения на остальных узлах цепи относительного базового узла, называя эти напряжения просто напряжениями узлов (или узловыми потенциалами). По рассчитанным значениям напряжений узлов можно затем найти напряжения ветвей (как разность напряжений двух соседних узлов) и токи ветвей (используя напряжение ветви плюс ЭДС ветви и характеристику элемента ветви).

Для линейной цепи узловые уравнения записывают в виде:

    Y_n×v_n=I_n,                                                                                    (2)

где Y_n - матрица проводимостей узлов; I_n - вектор эквивалентных узловых источников тока; v_n - вектор напряжений узлов. Причем,

Y_n=A×Y_В×A^т;                I_n=A×(I-Y_В×E),

где I - вектор источников тока в ветвях схемы; E - вектор источников ЭДС в ветвях схемы (для магнитной цепи - вектора источников потока и МДС соответственно).

Система линейных алгебраических уравнений (2) может быть решена любым известным методом, например, методом исключений Гаусса, который реализован в известной подпрограмме SIMQ).

Итак, для формирования узловых уравнений используется редуцированная матрица инциденций A в качестве источника информации о топологии цепи. Однако это не единственный способ формирования узловых уравнений. Другой способ, способ поэлементного вклада всех ветвей, основан на определенной структуре матрицы узловых проводимостей и вектора эквивалентных узловых источников. Так, каждый диагональный элемент матрицы узловых проводимостей y_ii равен сумме проводимостей всех ветвей, соединенных с узлом i; каждый кодиагональный элемент Y_ij (i ¹ j) равен проводимости ветви между узлами i и j, взятой с отрицательным знаком. Кроме того, матрица Y_n симметрична относительно главной диагонали, т. е. y_ij=y_ji. Каждый элемент вектора эквивалентных узловых источников I_i в свою очередь равен сумме токов источников тока, соединенных с узлом i, взя­ых с положительным знаком, если источник направлен к узлу i, и с отрицательным знаком, если источник направлен от узла i, и сумме произведений величины источника ЭДС ветви на проводимость этой ветви, соединенной с узлом i, взятых с положительным знаком, если источник ЭДС направлен к узлу i, и с отрицательным знаком, если источник направлен от узла i.

Другими словами, каждая k-я ветвь схемы, направленная от узла i к узлу j, добавляет: величину проводимости g_k к диагональным элементам y_ii и y_jj матрицы узловых проводимостей Y_n; проводимость g_k с отрицательным знаком к кодиагональным элементам y_ij и y_ji; произведение g_k×E_k с отрицательным знаком к элементу I_i вектора эквивалентных узловых источников тока I_n; произведение g_k×E_k с положительным знаком к элементу I_j. Источник тока J_k, направленный от узла j к узлу i, добавляет величину J_k с положительным знаком к элементу I_i вектора эквивалентных узловых источников I_n и величину J_k с отрицательным знаком к элементу I_j. Если i или j равно нулю, то соответствующий элемент матрицы отсутствует.

Таким образом, для каждой ветви достаточно указать номера узлов, к которому и от которого направлена ветвь, чтобы описать топологию цепи и составить узловые уравнения. Такой способ более экономичен в отношении оперативной памяти компьютера (вместо двумерной матрицы A - два одномерных массива номеров узлов) и машинного времени, затрачиваемого на автоматическое формирование узловых уравнений.

Все вышесказанное относилось к узловому анализу линейных цепей, однако для электромеханики более актуальной является задача анализа нелинейных цепей (учитывающих насыщение ферромагнитных участков магнитопровода). К таким цепям также может быть применен метод узловых потенциалов, однако из-за нелинейности характеристик отдельных элементов цепи уравнения получаются нелинейными и для их решения приходится применять итерационные методы.

Наилучшим общим методом решения систем нелинейных уравнений является метод Ньютона-Рафсона, который, в свою очередь, является частным случаем метода неподвижной точки. Суть метода заключается в том, что вначале задаются произвольными начальными значениями переменных и затем циклически корректируют их в соответствии с некоторым правилом до тех пор, пока не будут достигнуты точные значения (по крайней мере в пределах заданной допустимой погрешности). Итерационная формула метода Ньютона-Рафсона выглядит следующим образом:

x^(j+1)=x^(j)-[J(x^(j))]^-1×f(x^(j)),

где x^(j), x^(j+1) - вектор переменных на j-той и (j+1)-й итерации; f(x^(j)) - значение левой части матричного уравнения f(x)=0 на j-той итерации; J(x^(j)) - матрица Якоби (матрица частных производных) от f(x) на j-той итерации.

Применение метода Ньютона-Рафсона к узловому анализу нелинейных цепей позволяет получить следующее узловое итерационное уравнение:

[A×Y^(j)_В×A^т]×v_n^(j+1)=A×[I^(j)-Y^(j)_В×E],                                                            (3)

где Y^(j)_В - матрица Якоби (квадратная), размер которой равен числу ветвей цепи; v_n^(j+1) - значения узловых напряжений на (j+1)-й итерации; A - матрица инциденций; I^(j) - итеративный век­тор источника тока на j-той итерации; E - вектор источников ЭДС ветвей.

Уравнение (3) похоже на узловое уравнение (2) для линейной цепи, однако оно содержит некоторые новые члены. На самом деле они не очень сильно отличаются от соответствующих членов уравнения (2). Так, каждый элемент матрицы Якоби Y^(j)_В может быть интерпретирован как дифференциальная проводимость или наклон касательной к кривой i=g(v) (для линейного элемента она равна его статической проводимости L). Итеративный вектор источника тока I^(j) формируется на каждой итерации следующим образом: I^(j)=I-I_Q^(j)+Y^(j)_В×E_Q^(j), где I - вектор источников тока в ветвях схемы; I_Q^(j) - ток через элементы ветвей на j-той итерации; E_Q^(j) - напряжение на элементах ветвей на j-той итерации.

Поскольку структура уравнений (2) и (3) одинакова, то для автоматического формирования нелинейных итерационных уравнений (3) можно использовать те же принципы поэлементного вклада ветвей, что и для линейной цепи, но с соответствующей коррекцией статических проводимостей на дифференциальные и источников тока на итеративные источники тока.